Trupmenos uždavinys: nuo torto dalijimo iki loginio supratimo

Šiame straipsnyje nagrinėjami sunkumai, kylantys mokantis trupmenų mokykloje, ir siūlomi būdai, kaip šiuos sunkumus įveikti. Trupmenos yra viena pirmųjų matematinių sąvokų, sukeliančių rimtų iššūkių mokiniams. Nors vėliau sunkumų tik daugėja, trupmenos pasižymi tam tikru išskirtinumu, o jų (ne)supratimą iliustruoja anekdotai ir net priežodžiai.

Trupmenų sampratos sunkumai

P. Mašioto teigimu, panašus požiūris į trupmenas buvo ir prieš šimtą metų. Savo straipsnyje jis rašė: „… vokietis, patekęs į painią situaciją, sakosi į trupmenas įbridęs“. Siekiant palengvinti trupmenų įsisavinimą, dažnai naudojamos įvairios pedagoginės priemonės. Trupmenos sąvoka siekiama supaprastinti interpretuojant ją konkrečiais tikrovės objektais, pavyzdžiui, dalijant picą ar tortą į dalis.

Pradinėse klasėse neišvengiamai pradedama nuo intuityvios trupmenos sampratos. Tačiau 5-oje ar 6-oje klasėje būtina žengti pirmuosius žingsnius bandant aiškinti abstrakčias sąvokas. Penktos klasės vadovėliuose įprasta trupmenos aiškinimą pradėti nuo picos dalijimo, kaip ir pradinėse klasėse.

Problemos, kylančios aiškinant trupmenas

  1. Apibūdinimų gausa: Trupmena siejama su skirtingomis sąvokomis, todėl mokiniai gali pasijusti pasimetę.
  2. Apibūdinimų ribotumas: Nei vienas iš pateikiamų apibūdinimų nepaaiškina visų trupmenų savybių, tokių kaip ekvivalentumas, tvarka tarp trupmenų ir aritmetinės operacijos. Kiekviena trupmenų savybė apibrėžiama pasitelkiant tik vieną iš daugelio apibūdinimų arba tik iliustruojant pavyzdžiais.
  3. Neapibrėžtos sąvokos: Trupmenos apibūdinimuose naudojamos neapibrėžtos sąvokos, kurios gali būti nesuprantamos mokiniams.
  4. Skaičius ar simbolis?: Neaišku, ar trupmena yra skaičius, ar simbolis. Pripažinimas, kad trupmena yra skaičius, reiškia, kad trupmena yra vienareikšmiškai apibrėžtas matematinis objektas. Pripažinimas, kad trupmena yra simbolis, reiškia, kad trupmena yra matematinio objekto vardas. Kalbant apie trupmeną dažnai ignoruojamas skirtumas tarp galimų jos vaidmenų.

Vienais atvejais teigiama, kad: „Trupmena yra skaičius sudarytas iš lygių vieneto dalių“. Arba, toks trupmenos vaidmuo suprantamas iš konteksto (pavyzdžiui, 5-6 klasės matematikos ugdymo programoje). Šiuo atveju vaikui gali likti neaišku, kodėl vieni skaičiai yra lygūs (pavyzdžiui, ir ), o kiti skaičiai yra skirtingi (pavyzdžiui, ir ). Kitais atvejais teigiama, kad: „Trupmena yra matematinė skaičiaus išraiška, kuri gali reprezentuoti vieną arba kelias lygias vieneto (arba visumos) dalis“, arba „Trupmena yra simbolis racionaliajam skaičiui reikšti“.

Loginio pagrindimo svarba

Dabartinis trupmenų mokymas dažnai ignoruoja esminius matematikos bruožus: tikslų sąvokų apibrėžimą, susijusių sąvokų (šiuo atveju sveikojo skaičiaus ir trupmenos) loginį suderinamumą ir, kas svarbiausia, savybių ir procedūrų paaiškinimą (pagrindimą) remiantis sąvokų apibrėžtimis. Be supratimo, trupmenų savybes ir procedūras tenka mokytis mintinai. Matematikoje racionalieji skaičiai ir aritmetinės operacijos su jais apibrėžiami naudojant ekvivalentumo klases, o tai yra per daug abstraktu moksleiviams. Todėl reikia rasti tokią skaičiaus sampratos formą, kuri išsaugotų loginį tikslumą.

Taip pat skaitykite: Patarimai užsakant tortą internetu

Alternatyvus trupmenų aiškinimas

Šis aiškinimas skirtas matematikos mokytojams, kurie, naudodami pedagogines priemones, galėtų kvalifikuotai perteikti idėjas moksleiviams. Siūlomas aiškinimas remiasi natūraliųjų skaičių aritmetikos supratimu ir kai kuriomis geometrijos sąvokomis (geometrinė tiesė, taškas ant tiesės, atkarpa, kongruencija).

Skaičių tiesė ir susijusios sąvokos

Skaičių tiesė yra geometrinė tiesė, kurioje vienodu atstumu išsidėstę taškai žymi nulį ir natūraliuosius skaičius.

Apibrėžtis: Tarkime, kad [a,b] ir [b,c] yra dvi tos pačios tiesės atkarpos, turinčios vieną bendrą tašką b. Šių atkarpų jungtis yra atkarpa [a,c].

Apibrėžtis: Sakysime, kad geometrinės tiesės taškų poros (T,S) ir (U,V) yra vienodai nutolusios, jei jų sudarytos atkarpos [T,S] ir [U,V] yra kongruenčios, t.y. pastūmus [T,S] taip, kad T sutaptų su U, S turi sutapti su V.

Geometrinės tiesės taškų pora (T,S) vienareikšmiškai apibrėžia atkarpą [T,S]. Apie atkarpas sakysime, kad dvi ar daugiau atkarpų turi vienodą ilgį, jei jos yra kongruentiškos.

Taip pat skaitykite: Receptai: tortas su šokoladu

Tarkime, kad geometrinėje tiesėje yra pažymėtas nulis ir taškas T esantis į dešinę nuo nulio. Stumkime atkarpą [0,T] į dešinę nuo nulio tol, kol kairysis atkarpos galas nulis sutaps su T. Pastumtos atkarpos dešinį galą žymėkime 2T, t.y. atkarpos [0,T] ir [T,2T] turi vienodą ilgį. Nuosekliai kartodami atkarpos [0,T] stumimą, gauname taškus 0,T,2T,3T,….., kurie sudaro tai, ką vadinsime taško T kartotinių taškų seka. Šioje sekoje T vadinamas taško T pirmuoju kartotiniu tašku, 2T vadinamas taško T antruoju kartotiniu tašku ir t.t.

Apibrėžtis: Duotoje geometrinėje tiesėje pasirenkame du skirtingus taškus: pirmasis kairėje žymi 0 (nulį), o kitas žymi 1 (vienetą). Vieneto kartotinius taškus vadinsime natūraliaisiais skaičiais. Atkarpa tarp taškų 0 ir 1 vadinama vienetine atkarpa ir žymima [0,1]. Sakysime, kad vienetinei atkarpai kongruentiškos atkarpos ilgis yra lygus vienetui.

Apibrėžtis: Realusis skaičius yra taškas skaičių tiesėje.

Trupmenų identifikavimas skaičių tiesėje

Skaičių tiesėje turime natūraliuosius skaičius. Tolesnis uždavinys - identifikuoti tuos taškus, kurie yra trupmenomis (racionalieji skaičiai). Pirmiausia skaičių tiesėje nurodysime tas trupmenas, kurių vardikliais yra skaičius trys, t.y. .

Vienetinę atkarpą [0,1] daliname į tris vienodo ilgio atkarpas , ir , kurių jungtis yra vienetinė atkarpa. Kiekvieną kitą atkarpą [1,2], [2,3],.. tokiu pačiu būdu padaliname į tris vienodo ilgio atkarpas. Taip gautų visų atkarpų ilgiai yra vienodi, nes jie kongruentiški.

Taip pat skaitykite: Atsiliepimai apie tortą Jaunystė

Panašiu būdu, imant vienetinių atkarpų trečdalius ir apjungus bet kuriuos keturis iš jų, galima gauti trupmenos išraišką. Bendru atveju, su bet kuriuo natūraliuoju skaičiumi m, trupmena yra pirmųjų m vienetinės atkarpos trečdalių jungties dešinysis galas.

Samprotavimai apie trupmenas, kurių vardikliais yra trejetas, apibendrinami trupmenoms, kurių vardikliais yra bet kuris natūralusis skaičius n=1,2,3,… . Panašiu būdu, dalindami vienetines atkarpas į n dalių, gauname trupmenų , , … standartines išraiškas atkarpomis. Šių atkarpų dešinieji galai skaičių tiesėje sudaro tai, kas vadinama n-tųjų dalių aibe.

Apibrėžtis: Duotam natūraliajam skaičiui n, skaičių tiesės vienetinę atkarpą [0,1] padaliname į n vienodo ilgio atkarpų. Nuo nulio pirmosios gautos atkarpos dešinysis galas yra taškas, žymimas simboliu . Taško kartotiniai taškai sudaro n-tųjų dalių aibę, kurios elementus žymi simboliai , ,… . Visi šių aibių elementai kai n=1,2,3,… sudaro trupmenų aibę.

Pagal apibrėžimą, trupmena yra taškas skaičių tiesėje.

Apibrėžtis: Lygybė = reiškia, kad trupmenų simboliais ir žymimi taškai yra vienas ir tas pats taškas skaičių tiesėje.

Taigi, kai n=1, taško kartotiniai taškai , ,…, ,…yra lygūs atitinkamiems natūraliesiems skaičiams 1,2,…m,…. = 1, = 2, …..

Teiginys: Tarkime, kad ir yra du trupmenų simboliai ir egzistuoja toks teigiamas natūralusis skaičius c, kad k = cm ir l = cn. Tada = .

Įrodymas: Pagal apibrėžimą, yra taško m-tasis kartotinis taškas, t.y. atkarpa yra m vienodo ilgio atkarpų , ,…., jungtis. Kiekvieną iš šių atkarpų daliname į c vienodo ilgio atkarpų. Šių dalinimų pasekmė yra vienetinės atkarpos [0,1] padalinimas į nc vienodo ilgio atkarpų. Kadangi yra taško c-tasis kartotinis taškas, tai yra taško (mc)-tasis kartotinis taškas, t.y.

Išvada: Bet kurios dvi trupmenos išreiškiamos trupmenų simboliais, kurių vardikliai yra lygūs.

Trupmena-skaičius ir trupmena-simbolis

Mūsų mokyklose nėra įprasta skirti trupmeną-skaičių nuo trupmenos-simbolio. Tokio skyrimo pripažinimas matyt reiškia atitinkamos matematinės brandos lygio turėjimą. Matematikos mokytojai turėtų suprasti šiuos skirtumus ir, reikalui esant, sugebėti paaiškinti. Kitas susijęs klausimas yra žodžio „skaitmuo“ reikšmė. Atrodo, kad mūsų mokyklose skaitmuo yra vienaženklis skaičius. Tačiau skaitmuo turi kitą reikšmę: skaičiaus išraiška ženklais. Palyginimui prisiminkime anglų kalbos žodžius number, numeral, digit.

Trupmenos-skaičiaus ir trupmenos-simbolius skyrimas yra svarbus kalbant apie aritmetines operacijas. Matematikoje aritmetikos operacijos su skaičiais yra funkcijos. Tai reiškia, kad skaičių porai turi būti priskiriamas vienintelis aibės elementas.

Aritmetinės operacijos su trupmenomis

Trupmenos apibrėžtis yra paprasčiausioji dalis. Įdomiausia yra parodyti, kaip iš šios apibrėžties išvedamos visos trupmenos savybės. Aritmetinės operacijos su trupmenomis apibrėžiamos ne ad hoc, bet apibendrinant natūraliųjų skaičių atitinkamas aritmetines operacijas.

Sumos apibrėžimas ir įrodymas

Apibrėžtis: (Čia trūksta apibrėžimo, jį reikėtų suformuluoti).

Turint sumos apibrėžimą, jos išraiška įrodoma trupmenos apibrėžimą.

Teiginys: (Čia trūksta teiginio, jį reikėtų suformuluoti).

Įrodymas: Trupmenų simboliai ir yra ekvivalentūs trupmenų simboliams, atitinkamai, ir . Trupmena yra taško (lm)-tasis kartotinis taškas, o trupmena yra taško (nk)-tasis kartotinis taškas. Pagal sumos apibrėžimą, pakanka rasti atkarpų ir jungties dešinįjį galą. Abi atkarpos yra padalintos vienodo ilgio atkarpomis, kurios kongruentiškos atkarpai . Suskaičiavę kartotinius taškus gauname, kad ieškomas dešinysis galas yra taško (ml+nk)-kartotinis taškas.

Daugybos apibrėžimas ir įrodymas

Istoriškai natūraliųjų skaičių daugyba kaip aritmetinė operacija atsirado tik Descarteso (1596-1650) dėka. Iki tol dviejų natūraliųjų skaičių sandauga buvo atitinkamo stačiakampio plotas.

Apibrėžtis: Svarbiausia skaičiuojant plotą yra tai, kad tapatinamos dvi skaičių tiesės: vienos jų vienetas yra vienetinės atkarpos ilgis, o kitos tiesės vienetas yra plotas vienetinio kvadrato, kurio kraštinė yra pirmosios tiesės vienetinė atkarpa.

Teiginys: (Čia trūksta teiginio, jį reikėtų suformuluoti).

Įrodymas: Stačiakampis, kurio kraštinės yra ir , padengiamas mk kongruenčių stačiakampių, kurių kraštinės yra ir . Pastarojo stačiakampio plotas yra , nes nl tokių kongruenčių stačiakampių padengia vienetinį kvadratą.

Išvados

Šiame straipsnyje aptarti trupmenų mokymo sunkumai ir pasiūlytas alternatyvus aiškinimo būdas, pagrįstas skaičių tiesės ir geometrijos sąvokomis. Tikimasi, kad šis aiškinimas padės mokytojams geriau suprasti trupmenų esmę ir efektyviau perteikti ją mokiniams. Apie kitus trupmenų niuansus galima sužinoti studijuojant minėtąją H.-H. Wu knygą.

tags: #padalyti #torta #uždavinys #sprendimas

Populiarūs įrašai: