"Padalinti tortą" uždavinys: sunkumai mokant(is) trupmenas ir jų sprendimas
Įvadas
Trupmenos - viena pirmųjų matematikos sąvokų, su kuria susidūrę mokiniai patiria rimtų sunkumų. Ši problema aktuali jau daugelį metų ir, pasak P. Mašioto, buvo pastebima dar prieš šimtą metų. Šiame straipsnyje aptarsime, kodėl trupmenos tokios sunkiai suprantamos ir kaip galima efektyviau jas aiškinti.
Trupmenų (ne)supratimo problema
Trupmenų (ne)supratimą iliustruoja anekdotai ir net priežodžiai, o tai rodo, kad ši sąvoka suvokiama gana painiai. P. Mašioto teigimu, panašus požiūris į trupmenas buvo ir prieš šimtą metų. Straipsnyje jis rašo: "… vokietis, patekęs į painią situaciją, sakosi į trupmenas įbridęs". Tai rodo, kad trupmenos suvokiamos kaip kažkas sudėtingo ir painaus.
Pedagoginės priemonės ir jų ribotumai
Siekdami įveikti sunkumus su trupmenomis, mokytojai naudoja įvairias pedagogines priemones. Trupmenos sąvoką stengiamasi padaryti paprastesne ir aiškesne interpretuojant ją konkrečiais tikrovės objektais, pavyzdžiui, dalijant picą ar tortą į dalis. Nors pirmosiose klasėse tai neišvengiama, vėliau, 5-oje ar 6-oje klasėje, būtina žengti pirmuosius žingsnius bandant aiškinti abstrakčias sąvokas.
Penktos klasės vadovėliuose įprasta trupmenos aiškinimą pradėti nuo picos dalijimo, kaip ir pradinėse klasėse. Tačiau toks supaprastinimas turi savo trūkumų:
Taip pat skaitykite: Patarimai, kaip supjaustyti biskvitą
- Apibūdinimų gausa: Trupmena siejama su iš pažiūros labai skirtingomis sąvokomis.
- Apibūdinimų ribotumas: Nei vienas iš apibūdinimų nepaaiškina visų trupmenų savybių, tokių kaip trupmenų ekvivalentumas, tvarka tarp trupmenų ir aritmetinės operacijos su trupmenomis. Kiekviena trupmenų savybė apibrėžiama pasitelkiant vieną iš daugelio apibūdinimų arba tik iliustruojant pavyzdžiais.
- Neapibrėžtos sąvokos: Trupmenos apibūdinimuose naudojamos neapibrėžtos sąvokos.
- Trupmena - skaičius ar simbolis? Neaišku, ar trupmena yra skaičius, ar tik simbolis. Pripažinimas, kad trupmena yra skaičius, reiškia, kad trupmena yra vienareikšmiškai apibrėžtas matematinis objektas. Pripažinimas, kad trupmena yra simbolis, reiškia, kad trupmena yra matematinio objekto vardas. Problemą sudaro tai, kad kalbant apie trupmeną dažnai ignoruojamas skirtumas tarp galimų trupmenos vaidmenų.
Loginio tikslumo svarba
Dabartinis trupmenų mokymas ignoruoja esminius matematikos bruožus: tikslų sąvokų apibrėžimą, susijusių sąvokų (šiuo atveju sveikojo skaičiaus ir trupmenos) loginį suderinamumą ir, kas svarbiausia, savybių ir procedūrų paaiškinimą (pagrindimą) remiantis sąvokų apibrėžtimis. Be supratimo, trupmenų savybes ir procedūras tenka mokytis mintinai.
Matematikoje racionalieji skaičiai ir aritmetinės operacijos su jais apibrėžiami naudojant ekvivalentumo klases, o tai yra per daug abstraktu moksleiviams. Todėl reikia rasti tokią skaičiaus sampratos formą, kuri išsaugotų loginį tikslumą.
Alternatyvus trupmenų aiškinimas
Siūlomas aiškinimas naudoja natūraliųjų skaičių aritmetikos supratimą ir kai kurias geometrijos sąvokas (geometrinė tiesė, taškas ant tiesės, atkarpa, kongruencija).
Skaičių tiesė ir susijusios sąvokos
- Skaičių tiesė: Geometrinė tiesė, kurioje vienodu atstumu išsidėstę taškai žymi nulį ir natūraliuosius skaičius.
- Atkarpos jungtis: Tarkime, kad [a,b] ir [b,c] yra dvi tos pačios tiesės atkarpos, turinčios vieną bendrą tašką b. Šių atkarpų jungtis yra atkarpa [a,c].
- Vienodai nutolę taškai: Sakysime, kad geometrinės tiesės taškų poros (T,S) ir (U,V) yra vienodai nutolusios, jei jų sudarytos atkarpos [T,S] ir [U,V] yra kongruenčios, t.y. pastūmus [T,S] taip, kad T sutaptų su U, S turi sutapti su V.
- Atkarpos ilgis: Apie atkarpas sakysime, kad dvi ar daugiau atkarpų turi vienodą ilgį, jei jos yra kongruentiškos.
Tarkime, kad geometrinėje tiesėje yra pažymėtas nulis ir taškas T esantis į dešinę nuo nulio. Stumkime atkarpą [0,T] į dešinę nuo nulio tol, kol kairysis atkarpos galas nulis sutaps su T. Pastumtos atkarpos dešinį galą žymėkime 2T, t.y. atkarpos [0,T] ir [T,2T] turi vienodą ilgį. Nuosekliai kartodami atkarpos [0,T] stumimą, gauname taškus 0,T,2T,3T,….., kurie sudaro tai, ką vadinsime taško T kartotinių taškų seka. Šioje sekoje T vadinamas taško T pirmuoju kartotiniu tašku, 2T vadinamas taško T antruoju karotiniu tašku ir t.t.
Natūralieji skaičiai
Duotoje geometrinėje tiesėje pasirenkame du skirtingus taškus: pirmasis kairėje žymi 0 (nulį), o kitas žymi 1 (vienetą). Vieneto kartotinius taškus vadinsime natūraliaisiais skaičiais. Atkarpa tarp taškų 0 ir 1 vadinama vienetine atkarpa ir žymima [0,1]. Sakysime, kad vienetinei atkarpai kongruentiškos atkarpos ilgis yra lygus vienetui.
Taip pat skaitykite: Patarimai užsakant tortą internetu
Realusis skaičius
Realusis skaičius yra taškas skaičių tiesėje. Skaičių tiesėje turime natūraliuosius skaičius. Tolesnis uždavinys identifikuoti tuos taškus, kurie yra trupmenomis (racionalieji skaičiai).
Trupmenos skaičių tiesėje
Pirmiausia skaičių tiesėje nurodysime tas trupmenas, kurių vardikliais yra skaičius trys, t.y. Vienetinę atkarpą [0,1] daliname į tris vienodo ilgio atkarpas , ir , kurių jungtis yra vienetinė atkarpa. Kiekvieną kitą atkarpą [1,2], [2,3],.. tokiu pačiu būdu padaliname į tris vienodo ilgio atkarpas. Taip gautų visų atkarpų ilgiai yra vienodi, nes jie kongruentiški. Panašiu būdu, imant vienetinių atkarpų trečdalius ir apjungus bet kuriuos keturis iš jų, galima gauti trupmenos išraišką. Bendru atveju, su bet kuriuo natūraliuoju skaičiumi m, trupmena yra pirmųjų m vienetinės atkarpos trečdalių jungties dešinysis galas.
Samprotavimai apie trupmenas, kurių vardikliais yra trejetas, apibendrinami trupmenoms, kurių vardikliais yra bet kuris natūralusis skaičius n=1,2,3,… . Panašiu būdu, dalindami vienetines atkarpas į n dalių, gauname trupmenų , , … standartines išraiškas atkarpomis. Šių atkarpų dešinieji galai skaičių tiesėje sudaro tai, kas vadinama n-tųjų dalių aibe.
Trupmenos apibrėžimas
Duotam natūraliajam skaičiui n, skaičių tiesės vienetinę atkarpą [0,1] padaliname į n vienodo ilgio atkarpų. Nuo nulio pirmosios gautos atkarpos dešinysis galas yra taškas, žymimas simboliu . Taško kartotiniai taškai sudaro n-tųjų dalių aibę, kurios elementus žymi simboliai , ,… . Visi šių aibių elementai kai n=1,2,3,… sudaro trupmenų aibę.
Pagal apibrėžimą, trupmena yra taškas skaičių tiesėje.
Taip pat skaitykite: Receptai: tortas su šokoladu
Trupmenų lygybė
Lygybė = reiškia, kad trupmenų simboliais ir žymimi taškai yra vienas ir tas pats taškas skaičių tiesėje. Taigi, kai n=1, taško kartotiniai taškai , ,…, ,…yra lygūs atitinkamiems natūraliesiems skaičiams 1,2,…m,…. = 1, = 2, …..
Teiginys apie trupmenų ekvivalentumą
Tarkime, kad ir yra du trupmenų simboliai ir egzistuoja toks teigiamas natūralusis skaičius c, kad k = cm ir l = cn. Tuomet = .
Įrodymas. Pagal apibrėžimą, yra taško m-tasis kartotinis taškas, t.y. atkarpa yra m vienodo ilgio atkarpų , ,…., jungtis. Kiekvieną iš šių atkarpų daliname į c vienodo ilgio atkarpų. Šių dalinimų pasekmė yra vienetinės atkarpos [0,1] padalinimas į nc vienodo ilgio atkarpų. Kadangi yra taško c-tasis kartotinis taškas, tai yra taško (mc)-tasis kartotinis taškas, t.y.
Išvada: Bet kurios dvi trupmenos išreiškiamos trupmenų simboliais, kurių vardikliai yra lygūs.
Trupmena-skaičius ir trupmena-simbolis
Mūsų mokyklose nėra įprasta skirti trupmeną-skaičių nuo trupmenos-simbolio. Tokio skyrimo pripažinimas matyt reiškia atitinkamos matematinės brandos lygio turėjimą. Matematikos mokytojai turėtų suprasti šiuos skirtumus ir, reikalui esant, sugebėti paaiškinti. Kitas susijęs klausimas yra žodžio ,,skaitmuo‘‘ reikšmė. Atrodo, kad mūsų mokyklose skaitmuo yra vienaženklis skaičius. Tačiau skaitmuo turi kitą reikšmę: skaičiaus išraiška ženklais. Palyginimui prisiminkime anglų kalbos žodius number, numeral, digit.
Aritmetinės operacijos su trupmenomis
Trupmenos-skaičiaus ir trupmenos-simbolius skyrimas yra svarbus kalbant apie aritmetines operacijas. Matematikoje aritmetikos operacijos su skaičiais yra funkcijos. Tai reiškia, kad skaičių porai turi būti priskiriamas vienintelis aibės elementas.
Trupmenos apibrėžtis yra paprasčiausioji dalis. Įdomiausia yra parodyti kaip iš šios apibrėžties išvedamos visos trupmenos savybės. Aritmetinės operacijos su trupmenomis apibrėžiamos ne ad hoc, bet apibendrinant natūraliųjų skaičių atitinkamas aritmetines operacijas.
Trupmenų suma
Apibrėžtis: (trūksta apibrėžimo teksto)
Turint sumos apibrėžimą, jos išraiška įrodoma trupmenos apibrėžimą.
Teiginys: (trūksta teiginio teksto)
Įrodymas: Trupmenų simboliai ir yra ekvivalentūs trupmenų simboliams, atitinkamai, ir . Trupmena yra taško (lm)-tasis kartotinis taškas, o trupmena yra taško (nk)-tasis kartotinis taškas. Pagal sumos apibrėžimą, pakanka rasti atkarpų ir jungties dešinįjį galą. Abi atkarpos yra padalintos vienodo ilgio atkarpomis, kurios kongruentiškos atkarpai . Suskaičiavę kartotinius taškus gauname, kad ieškomas dešinysis galas yra taško (ml+nk)-kartotinis taškas.
Trupmenų daugyba
Istoriškai natūraliųjų skaičių daugyba kaip aritmetinė operacija atsirado tik Descarteso (1596-1650) dėka. Iki tol dviejų natūraliųjų skaičių sandauga buvo atitinkamo stačiakampio plotas.
Apibrėžtis: (trūksta apibrėžimo teksto)
Svarbiausia skaičiuojant plotą yra tai, kad tapatinamos dvi skaičių tiesės: vienos jų vienetas yra vienetinės atkarpos ilgis, o kitos tiesės vienetas yra plotas vienetinio kvadrato, kurio kraštinė yra pirmosios tiesės vienetinė atkarpa.
Teiginys: (trūksta teiginio teksto)
Įrodymas: Stačiakampis, kurio kraštinės yra ir , padengiamas mk kongruenčių stačiakampių kurių kraštinės yra ir . Pastarojo stačiakampio plotas yra , nes nl tokių kongruenčių stačiakampių padengia vienetinį kvadratą.
tags: #padalinti #torta #uždavinys #sprendimas